Algebra / Đại Số

Algebra là một ngành lớn của toán học, có xuất xứ lâu đời nghiên cứu về các cấu trúc tập hợp, quan hệ và số lượng. Cái tên đại số bắt nguồn từ một nhà toán học Tây Á, vùng vịnh Péc-xích (Persian Gulf) có tên là Muhammad ibn Mūsā al-Kwārizmī, trong cuốn sách mang tựa đề "Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala," nghĩa là "Luận súc tích về tính toán bằng phép hoàn thể và cân bằng." Cuốn sách này cung cấp các phép toán sử dụng ký hiệu giúp giải các nghiệm hệ thống cho phương trình tuyến tính và toàn phương. Đại số là một nhánh toán học lớn, và được giảng dạy phổ biến từ cấp Trung học, gọi là Đại số cơ sở. Ở bậc đại số cơ sở, các vấn đề thường được đề cập tới là các kết quả phép cộng, nhân, khái niệm về biến số, giai thừa, đa thức, khai căn, v.v.. Trên thực tế, đại số là ngành lớn và nó rộng hơn rất nhiều so với kiến thức phổ thông nói chung, thường ở mức đại số cơ sở. Đại số có xu hướng tổng quát hóa rất cao. Nét đặc trưng của đại số hiện đại là ngoài làm việc với các con số, đại số sử dụng rất nhiều các ký hiệu toán học, biến, tập hợp, các phần tử của tập hợp. Phép cộng và nhân là hai toán tử cơ bản của đại số. Dựa trên những định nghĩa chính thống, người ta sử dụng hai toán tử này để xây dựng tiếp các khái niệm trừu tượng như nhóm, vành và trường. Bốn nhóm chính của đại số có thể liệt kê như sau. Đại số phổ thông. Đại số trừu tượng (còn gọi là đại số hiện đại). Đại số tuyến tính (nghiên cứu các không gian véc-tơ). Đại số phổ quát (nghiên cứu các cấu trúc đại số). Trong các nghiên cứu bậc cao, các hệ thống đại số xây dựng theo hệ tiên đề như nhóm, vành, trường và các đại số xác định trên một trường được nghiên cứu với sự hiện diện của một cấu trúc hình học tự nhiên (còn gọi là một tô-pô) có khả năng diễn giải tương thích với cấu trúc đại số đó. Một số phạm vi nghiên cứu giải tích hàm trong đại số bao gồm: Các không gian tuyến tính định chuẩn; Không gian Banach; Không gian Hilbert; Các đại số Banach; Các đại số tô-pô; Các nhóm tô-pô, v.v.. Đại số cũng được ứng dụng rất nhiều trong các mô hình xác suất thống kê và trong các cấu trúc kinh tế, nghiên cứu kinh doanh.